Matematik i Jetline
Ett Jetline-tåg har 7 vagnar och rymmer 14 personer. Högsta punkten ligger H=29 m över stationen. Högsta farten under turen är v=90km/h. Spåret är L=800 m långt och turen tar ca 1 minut och 30 sekunder. Upp till 1300 personer per timme kan åka Jetline.
Hur många Jetline-turer?
- Ca 1 miljon personer åker Jetline varje år. Hur många Jetline-turer blir det totalt? (Antag att alla tåg är fullastade med 14 personer)
- Det finns 4 Jetline-tåg: Hur många turer måste varje tåg ha åkt? Hur långt har varje tåg åkt under ett år?
- 1300 personer kan åka Jetline på en timme. Hur ofta måste ett Jetline-tåg lämna stationen?
- Hur ofta måste ett av de fyra tågen lämna stationen? Hur lång tid kan varje tåg vara kvar på stationen om själva turen tar 90 sekunder?
Energi i Jetline
Ett tomt Jetline-tåg har massan M=4350 kg och för ett fullastat tåg gäller M ≈ 5,5 ton.
- Hur mycket energi går åt för att dra upp ett tåg till högsta punkten? (Använd uttrycket Ep=MgH för lägesenergin.)
- Hur stor är rörelseenergin (Ek=Mv2/2) för ett tåg med farten 90 km/h? (Glöm inte att omvandla farten till m/s). Kan du säga något om höjden för spårets lägsta punkt?
- Själva "uppdraget" tar ca 30 sekunder. Hur stor effekt behövs under uppdraget? (Kom ihåg att effekt är energi per tidsenhet.)
- Hur stor är medeleffekten om 1300 personer per timme åker Jetline?
Hjul på Jetline-tåg
På bilden på rcdb.com/1062.htm ser du ett av tågen. Ser du att det finns en hjulaxel under varje vagn och en hjulaxel under loket. På varje sida av en hjulaxel finns 6 hjul (se bilden på rcdb.com/1062.htm.
- Hur många hjul finns på ett tåg? (På teknikbordet kan du titta närmare på hur hjulen ser ut.)
- Avståndet mellan hjulaxlarna är 1200 mm utom mellan första och andra hjulaxeln där avståndet är 1080 mm. Hur långt är det mellan första och sista hjulaxeln?
Acceleration i backen
Vid tiden t=0 börjar tåget försvinna bakom första skylten. Det tar ca 1.17 sekunder innan slutet av tåget har passerat samma punkt.
- Hur stor är medelfarten för tåget? Tågets längd är ca 9.2m.
- Finns det någon tidpunkt när tågets fart är lika med denna medelfart? I så fall när?
Vid tiden 2.9 sekunder börjar tåget försvinna in bakom byggnaden till höger i bilden. Eftersom tåget har accelererat nedför backen tar det kortare tid för hela tåget att passera, bara 0.47 sekunder.
- Hur stor är medelfarten när tåget passerar denna punkt?
- Vid vilken tidpunkt har tåget denna fart?
- Hur stor har tågets medelacceleration varit?
Första nedförsbacken
I ritningen anges höjden (dvs avståndet mellan fundamentet och centrum av spåret) och (horisontellt) avstånd mellan stolparna. Rita en graf över spårets höjd som funktion av förflyttning i x-led. Mät i din graf för att få sträckan mellan punkterna och spårets lutning mellan de olika stolparna.
| Stolpe nr | Höjd (m) | Avstånd till förra stolpen | Sträcka | Lutning |
|---|---|---|---|---|
| 51 | 27.9 | |||
| 52 | 24.7 | |||
| 6.7 | ||||
| 53 | 20.5 | |||
| 6.5 | ||||
| 54 | 16.4 | |||
| 6.8 | ||||
| 55 | 12.1 | |||
| 6.8 | ||||
| 56 | 7.8 |
Se fler uppgifter för gymnasiet till denna tabell
Kommentarer till uppgifterna:
Genom att uttrycken är angivna tränas förmågan att använda uttryck, vilket ingår i det centrala innehållet för matematik. Uppgifterna tränar också förmågan att göra rimlighetsuppskattningar.
Hur många tåg?
- Antal turer 1 000 000/14 =71000 tågturer.
- Vart och ett av de fyra tågen behöver ha gjort c.a 18000 turer. Det blir drygt 1400 mil, räcker inte riktigt runt jorden, bara till Australien.
- Ca 93 tåg per timme måste lämna stationen, dvs ca 39 sekunder mellan tågen
- Vart och ett av de fyra tågen måste då lämna stationen med ca 155 s intervall. Om själva turen tar 90 sekunder återstår 65 sekunder för avstigning och lastning. (Mät tiden medan ni är på plats!)
Energi i Jetline
- W= Ep=MgH= 5000 kg * 10m2/s2 *29m ≈1.43MJ 90 km/h = 25m/s
- Ek=mv2/2 = 5000 kg * (25m/s)2/2 ≈1.56MJ
- (Spårets lägsta punkt ligger under stationen. Enligt ritningen är höjdskillnaden 32m.)
- Lägesenergin tillförs under 30 sekunder. Effekten kan skrivas som P =1.43MJ/30s=47kW. Använd att det behövs 1300/14 ≈ 93 tåg per timme och att varje tåg kräver 1.43MJ, dvs 132MJ/timme= 37MW.
Hjul på Jetline-tåget
- På varje tåg finns (2*6 hjul/axel)*8 hjulaxlar = 96 hjul. Glöm inte att gå till teknikbordet och se hur hjulen ser ut och få veta mer om varför det behövs så många!
- Mellan hjulaxel 2 och 8 är det 6*1200mm = 7.2m. Till detta ska läggas avståndet mellan hjulaxel 1 och 2, vilket ger 7.20m +1.08m=8.28m. (Själva tåget är lite längre, 9.2m)
Första nedförsbacken
Lutningen blir 24° för första spårsegmentet och 32° för övriga. Lutningen kan dels fås ur en graf (se til att det är samma skala på x- och y-axeln och använd likformighet!), dels beräknas som Atan(ΔH/L)).
Accelerationen blir g sin(32°) ≈ 0.53 g och normalkraften från tåget (vinkelrät mot spåret) blir Mg cos(32°) ≈ 0.85 Mg. (En medföljande accelerometer bör visa 0.85(g) i nedförsbacken.)