lu.se

Denna sida på svenska This page in English

Matematik i Jetline

Ett Jetline-tåg har 7 vagnar och rymmer 14 personer. Högsta punkten ligger H=29 m över stationen. Högsta farten under turen är v=90km/h. Spåret är L=800 m långt och turen tar ca 1 minut och 30 sekunder. Upp till 1300 personer per timme kan åka Jetline.

Hur många Jetline-turer?

  1. Ca 1 miljon personer åker Jetline varje år. Hur många Jetline-turer blir det totalt? (Antag att alla tåg är fullastade med 14 personer)
  2. Det finns 4 Jetline-tåg: Hur många turer måste varje tåg ha åkt? Hur långt har varje tåg åkt under ett år?
  3. 1300 personer kan åka Jetline på en timme.  Hur ofta måste ett Jetline-tåg lämna stationen? 
  4. Hur ofta måste ett av de fyra tågen lämna stationen? Hur lång tid kan varje tåg vara kvar på stationen om själva turen tar 90 sekunder?

Energi i Jetline

Ett tomt Jetline-tåg har massan M=4350 kg och för ett fullastat tåg gäller M ≈ 5,5 ton. 

  1. Hur mycket energi går åt för att dra upp ett tåg till högsta punkten? (Använd uttrycket Ep=MgH för lägesenergin.)
  2. Hur stor är rörelseenergin (Ek=Mv2/2) för ett tåg med farten 90 km/h? (Glöm inte att omvandla farten till m/s). Kan du säga något om höjden för spårets lägsta punkt?
  3. Själva "uppdraget" tar ca 30 sekunder. Hur stor effekt behövs under uppdraget? (Kom ihåg att effekt är energi per tidsenhet.)
  4. Hur stor är medeleffekten om 1300 personer per timme åker Jetline?

Hjul på Jetline-tåg

På bilden på rcdb.com/1062.htm ser du ett av tågen. Ser du att det finns en hjulaxel under varje vagn och en hjulaxel under loket. På varje sida av en hjulaxel finns 6 hjul (se bilden på rcdb.com/1062.htm.

  1. Hur många hjul finns på ett tåg? (På teknikbordet kan du titta närmare på hur hjulen ser ut.)
  2. Avståndet mellan hjulaxlarna är 1200 mm utom mellan första och andra hjulaxeln där avståndet är 1080 mm.  Hur långt är det mellan första och sista hjulaxeln? 

Acceleration i backen

Vid tiden t=0 börjar tåget försvinna bakom första skylten.  Det tar ca 1.17 sekunder innan slutet av tåget har passerat samma punkt.

  • Hur stor är medelfarten för tåget?  Tågets längd är ca 9.2m.
  • Finns det någon tidpunkt när tågets fart är lika med denna medelfart? I så fall när?

Vid tiden 2.9 sekunder börjar tåget försvinna in bakom byggnaden till höger i bilden. Eftersom tåget har accelererat nedför backen tar det kortare tid för hela tåget att passera,  bara 0.47 sekunder.

  • Hur stor är medelfarten när tåget passerar denna punkt?
  • Vid vilken tidpunkt har tåget denna fart?
  • Hur stor har tågets medelacceleration varit?

Första nedförsbacken

I ritningen anges höjden (dvs avståndet mellan fundamentet och centrum av spåret) och (horisontellt) avstånd mellan stolparna. Rita en graf över spårets höjd som funktion av förflyttning i x-led. Mät i din graf för att få sträckan mellan punkterna och spårets lutning mellan de olika stolparna. 

 

Stolpe nrHöjd (m) Avstånd till förra stolpen SträckaLutning
5127.9
7.3
5224.7
6.7
53 20.5
6.5
5416.4
6.8
5512.1
6.8
567.8

Se fler uppgifter för gymnasiet till denna tabell

Kommentarer till uppgifterna:

Genom att uttrycken är angivna tränas förmågan att använda uttryck, vilket ingår i det centrala innehållet för matematik. Uppgifterna tränar också förmågan att göra rimlighetsuppskattningar.

Hur många tåg?

  1. Antal turer 1 000 000/14 =71000 tågturer.
  2. Vart och ett av de fyra tågen behöver ha gjort c.a 18000 turer. Det blir drygt 1400 mil, räcker inte riktigt runt jorden, bara till Australien.
  3. Ca 93 tåg per timme måste lämna stationen, dvs ca 39 sekunder mellan tågen
  4. Vart och ett av de fyra tågen måste då lämna stationen med ca 155 s intervall. Om själva turen tar 90 sekunder återstår 65 sekunder för avstigning och lastning. (Mät tiden medan ni är på plats!)

Energi i Jetline

  • W= Ep=MgH= 5000 kg * 10m2/s2 *29m ≈1.43MJ 90 km/h = 25m/s
  • Ek=mv2/2 = 5000 kg * (25m/s)2/2 ≈1.56MJ
  • (Spårets lägsta punkt ligger under stationen. Enligt ritningen är höjdskillnaden 32m.)
  • Lägesenergin tillförs under 30 sekunder. Effekten kan skrivas som P =1.43MJ/30s=47kW. Använd att det behövs 1300/14 ≈ 93 tåg per timme och att varje tåg kräver 1.43MJ, dvs 132MJ/timme= 37MW.

Hjul på Jetline-tåget

  • På varje tåg finns (2*6 hjul/axel)*8 hjulaxlar = 96 hjul. Glöm inte att gå till teknikbordet och se hur hjulen ser ut och få veta mer om varför det behövs så många!
  • Mellan hjulaxel 2 och 8 är det 6*1200mm = 7.2m. Till detta ska läggas avståndet mellan hjulaxel 1 och 2, vilket ger 7.20m +1.08m=8.28m. (Själva tåget är lite längre, 9.2m)

Första nedförsbacken

Lutningen blir 24° för första spårsegmentet och 32° för övriga. Lutningen kan dels fås ur en graf (se til att det är samma skala på x- och y-axeln och använd likformighet!), dels beräknas som Atan(ΔH/L)).

Accelerationen blir g sin(32°) ≈ 0.53 g och normalkraften från tåget (vinkelrät mot spåret) blir Mg cos(32°) ≈ 0.85 Mg. (En medföljande accelerometer bör visa 0.85(g) i nedförsbacken.)