lu.se

Denna sida på svenska This page in English

Teori och mätningar

Rörelsen i HangHai kan beskrivas med samma ekvationer som rörelsen i Loke. Rälsvaggans radie är R=20m.

En matematisk pendel med längden L har en period T≈ 2 pi (L/g)1/2

För 20 m får vi T/2  ≈ 4.5s, dvs pendeln kan förväntas passera lägsta punkten med intervallet 4.5s

Om den gungar upp till vinkeln θ0 =60° bör masscentrum vara 10m över lägsta punkten (dvs R (1-cos θ0)).  vilket innebär att farten längst ned blir v≈14m/s. (Använd energiprincipen.) Detta ger en centripetalacceleration

ac = v2/ R = g 

och en vinkelhastighet Ω = v/R≈ 0.7 rad/s.

Den förväntade normalkraften i botten för en kropp med massa m blir då N0= 2mg.

Skivans rotation

Skivan har diametern 2 r= 9.0m. Enligt datablad roterar den upp till 9.5 varv/minut. Vinkelhastigheten för denna rörelse kan skrivas som

ω= 2 π rad . (9.5/60s) ≈ 1.0 rad/s.

Centripetalaccelerationen på grund av skivans rotation blir askiva =rω2≈ 0.45g,  vinkelrät mot centripetalaccelerationen i själva pendelrörelsen.

Coriolis-effekten. 

Vektorsumman av normalkraften N0= 2mg i nedersta punkten och kraften m askiva = 0.45g har beloppet 2.05mg, vilket inte räcker för att förklara den totala uppmätta kraften. Vi behöver också ta hänsyn till att skivan roterar i ett koordinatsystem som roterar på grund av pendelrörelsen, den s.k. Coriolis-effekten som innebär en ytterligare acceleration som kan vara upp till

 aCor =  2 rω Ω ≈ 0.63g.

Den totala kraften i lägsta punkten skulle då kunna variera mellan 1.42 g och 2.68g

Krafter i högsta läget 

I högsta punkten förväntar i en kraft  mg cos θ0 = 0.5g från attraktionen. I grafen syns att minsta värdet är något mindre än 0.5g. Man måste ta hänsyn till att pendelrörelsen leder till en extra acceleration på olika platser av skivan, vilket kan öka eller minska kraften från attraktionen med upp till 

(r/H) g sin θ = (4.5/19.5) g sin 60° = 0.2g

Vi har här använt höjden H för avståndet mellan skivans centrum och centrum av den cirkel (med radie R=20 m) som utgörs av själva rälsvaggan. Pythagoras sats ger

H2 = R2 - r2 ≈ (19.5 m)2

Jämförelse med uppmätta data.

Ur grafen kan perioden uppskattas till närmare 5s för de större svängningarna. 60° ger en förlängning av den perioden med 7%, till 4.8s för halvperioden.

De högsta och lägsta uppmätta värdena i lägsta punkten är ca 1.3g resp 2.5g, dvs ca 0.2g för litet max-värde. Värdena i högsta punkten varierar mellan ca 0.4g och 0.7g. (Här spelar också skivans centripetalacceleration roll för totalvärdet.

I analysen har vi behandlat rörelsen som en matematisk pendel, trots att skivan är relativt stor jämfört med radien för pendelrörelsen. Hänsyn till tröghetsmomentet skulle göra att svängningstiden blir något längre vilket i sin tur gör att  farten (och centripetalaccelerationen) i lägsta punkten blir något mindre.

Även i högsta punkten gör tröghetsmomentet att vinkelaccelerationen blir för liten.

Under nästa fysikdag försöker vi få samtidiga mätningar på motsatta platser.